195 | 黎曼猜想和认识的延展（上）

搞人工智能的人在数学家看来，属于鄙视链最底端的人，所以也就无知者无畏了，扮演了“皇帝新装”中的那个男孩。

为什么媒体在听到黎曼猜想被证明后就兴奋不已，而很多并不懂数学的人也关心此事呢？这说明了这道数学难题的重要性。具体讲，就是黎曼猜想想和寻找大素数有关，而寻找大素数和加密有关，这关于我们今天的信息安全。如果这件事放在40年前，不会引起那么大的轰动，因为那时互联网没有这么普及，信息安全对普通老百姓来讲不重要。再往后，这个问题会更重要，假如加密虚拟货币真进入我们的流通领域，它的安全性就极为重要了。


什么是延拓？
黎曼猜想比较烧脑，但是由它来说明认知升级还是不错的。因此，今天和明天我们讲讲黎曼猜想，也顺便让大家了解一些所谓高深的数学难题，希望你读了之后发现那些数学难题其实不难理解。

由于黎曼猜想这个问题比较复杂，我们需要花两天的时间讲解，而且今天只能讲一些基础的知识，重点是介绍一个数字中概念，即函数定义的延拓。通过这个概念，希望大家能理解人类认识进步的过程，看看人类是如何从一个局部的认识，上升到完整的认识，特别是在对数学认知的升级过程中，需要发明新的概念，并且对概念的理解进行逐渐升级。

我们小时候认识的数字都是正整数，1，2，3，4…...因为我们接触到的周围的世界就是这样实实在在一个又一个的东西。后来，我们被告知零这个概念。1，2，3这样的正整数，我们即便不被告知，脑子里的概念也能根据生活经验形成，但是零这个概念，如果不被告知，99.99%甚至更多的人，是无法自我获得的。

事实上除了古印度，其他文明在早期数字中都没有零这个数，也就是说，零这个概念是人类从有数字开始花了几千年才搞明白的概念。几周前我们谈过有关常识的问题，零这个概念对我们来讲就是常识，但是对于几千年前，甚至几百年前没有受过教育的人来讲，并不是常识。由此可见，常识是不断更新的。有了零，我们对于数字的认识就从正整数到了自然数（即零和正整数）。
有了数字就要做运算，事实上运算的分出现早于零的出现。大约在17000年前，南部非洲的人就使用了技术运算的工具。最早的运算是加法，对于加法来讲，自然数本身是完备的，也就是说任何两个自然数相加，结果还是自然数。不过，有了加法必然会产生减法的概念。对于减法，自然数就不完备了，因为2 - 3 = ？在自然数中找不到。于是人们就发明了负数这个概念。比如2-3 = -1。如果我们把减法看成是一个简单的函数，那么2-3其实已经是减法函数定义的一个延拓了，因为我们在小学开始学习减法时，是要求前面的数字大于等于后面的，这是基本概念。

但是我们接触到负数后，老师就把减法的定义范围（也称为定义域）给偷偷更换了。也就是说，现在的减法其实不是过去的减法了（当延拓后，定义就变了，而非定义延拓了？）。进行了概念的延拓，或者说减法函数的延拓后，数学就变得抽象了，难懂了，但是功能也就更强大了。很多人觉得数学很难学，主要是每一次概念延拓时，抽象的概念没有搞清楚，以后不明白的地方越来越多，就再也学不进去了。

和加法类似，自然数对于乘法来讲，也是完备的，也就是说，两个自然数相乘，结果跑不出自然数的范畴（噢噢，完备的意思是，在范畴之内）。当然，有乘法就有除法。遗憾的是，自然数对于除法不是完备的，因为2/3不是一个整数。于是人们又搞出分数的概念。这样整数加上分数，就形成了我们所知道的有理数。在毕达哥拉斯之前，人类对数字的认识到此为止。

乘法中有一类特殊的乘法，就是自己乘以自己，我们称之为平方。有理数对于平方来讲，也是完备的，也就是说，平方运算算来算去，爬不出有理数的范围。当然，人们很快也会想到平方的逆运算，就是开方。遗憾的是，对于开方来讲，有理数就不完备了，因为像√2这样的数字不是有理数。这件事首先被毕达哥拉斯的一个叫做希帕索斯的学生发现了，这就造成了第一次的数学危机，因为毕达哥拉斯原来宣称的所有数字都是有理数这件事就有例外了。于是，毕达哥拉斯决定当鸵鸟，装作不知道，然后把自己的这个学生希帕索斯弄死了。当然，他更正确的做法应该是承认无理数的存在，这样他其实会变得更伟大。从有理数到无理数，实际上数字的范围又进行了一次延伸，从有理数扩展到了实数，即有理数和无理数的总和。（实数 = 有理数 + 无理数 = 自然数 + 分数 + 无理数）。开方这种运算，自然也进行了一次闫拓，

讲到平方和开方，还要问大家一个问题。什么数字的平方等于4？我发现95%甚至更多的人会回答是2，这个回答只对了一半，因为-2的平方也是4。初中生考数学丢分，忘记负数是最常见的原因。有了实数的概念，开方这件事情对于正的实数来讲是完备的。但是，对于负数来讲就有问题了，因为没有一个实数的平方等于-1。也就是说-1的开方在实数中是没有定义的。于是，数学家们不得不发明一个虚拟的数字，让它的平方等于-1，这就是虚数i，也就是说 i * i = -1。（平时第一次有点懂了啥事虚数, imaginary number）。

这样开方这种运算就被延拓到负数的范围，所谓复数是实数和虚数的总称。（复数 = 实数 + 虚数 = 有理数 + 无理数 + 虚数 = 自然数 + 分数 + 无理数 + 虚数）。有了复数，加减乘除、平方、开方就都具备了。虚数概念的出现和之前几次数字概念的拓展不同，因为它不是自然界本身存在的，完全是数学家为了让开方这种运算完备，自己发明出来的。

这样的数学，已经完全是一个从定义和公理出发，通过逻辑推演出的知识体系了，它已经无法和现实世界一一对应了。（つまり：）从此，我们不能再用对真实世界的理解，去判定数学上的对错了。

那么复数有什么用呢？为什么要高出这么一个在现实世界中完全不存在的概念呢？仅仅是为了让开方运算变得完备么？当然不是。复数是一个非常强大的数学工具，使用这个建立在现实生活中所不具备的事实的基础之上的数学工具，可以解决很多现实世界里的问题。换一种方式讲就是：复数的基础在现实世界里并不存在，但是建立在不存在基础上的工具，却能解决实际问题。比如我们使用的三相交流电是实实在在存在的，它里面的很多问题，用复数这个工具解决，要比用实数加上三角函数解决起来容易很多。实际上，涉及到电磁波的几乎所有问题，都需要使用复数这个工具来解决。


总结

• 1. 我们重点讲了“延拓”这个概念。人类最初的认知来源于自身的实践，但是人类渐渐发现很多新的问题在原有的认识基础上就无法解决了，于是人类就进行概念的拓展，当然，在数学上也就有了运算（和函数）的延拓。记得我之前讲的吗，每当我们发现问题的时候，其实都是我们的机会，而不仅仅是我们的厄运。数学就是在这样不断发现问题，解决问题的过程中进步的。在生活中，适当的、合乎逻辑的“延拓”也很重要，至于什么地方可以用到这样的思维方式，你要思考。
• 2. 学习间接经验很重要。如果凡事都靠自己琢磨出来，即使是零这样一个常识性的概念，也要想个上千年。
• 3. 数学是一个抽象的工具，它的很多分支建立在“不存在”的基础之上，却能解决现实的问题，这在哲学意义上市一个件很有意思的事情。有效地做事情，掌握好的工具非常重要。同一个问题，有些人因为手头上有好的工具，就解决了，有些人从自己在现实世界的经验出发慢慢摸索，就难以解决。

（好精彩的逻辑推理）

思考：

• 1. i的平方根是什么？
• 2. 在生活中，适当的、合乎逻辑的“延拓”也很重要，什么地方可以用到这样的思维方式呢？

• Q: What is √i ?
• • Know: √-1 = i
  • Suppose: √i = a + bi
  • Answer: 
  • • (√i)^2 = (a + bi)^2
    • i = a^2 + 2abi + (bi)^2
    • i = a^2 + b^2*(i)^2 + 2abi
    • i = a^2 + (-1)*b^2 + 2abi
    • i = (a^2 - b^2) + 2abi
    • 0 + i = (a^2 - b^2) + 2abi
    • So, 
    • • a^2 - b^2 = 0, 
      • 1 = 2ab, 
      • • ——> b = 1/2a ——> a^2 - (1/2a)^2 = 0
        • ——> (4a^4 - 1) / 4a^2 = 0
    • So,
    • • a = ± 1 / √2
      • b = ± 1/√2
      • √i =  1/√2 + 1/√2i or √i = -1/√2 - 1/√2 i