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195 | 黎曼猜想和认识的延展(上)

11/17/2018

 
搞人工智能的人在数学家看来,属于鄙视链最底端的人,所以也就无知者无畏了,扮演了“皇帝新装”中的那个男孩。

为什么媒体在听到黎曼猜想被证明后就兴奋不已,而很多并不懂数学的人也关心此事呢?这说明了这道数学难题的重要性。具体讲,就是黎曼猜想想和寻找大素数有关,而寻找大素数和加密有关,这关于我们今天的信息安全。如果这件事放在40年前,不会引起那么大的轰动,因为那时互联网没有这么普及,信息安全对普通老百姓来讲不重要。再往后,这个问题会更重要,假如加密虚拟货币真进入我们的流通领域,它的安全性就极为重要了。


什么是延拓?
黎曼猜想比较烧脑,但是由它来说明认知升级还是不错的。因此,今天和明天我们讲讲黎曼猜想,也顺便让大家了解一些所谓高深的数学难题,希望你读了之后发现那些数学难题其实不难理解。

由于黎曼猜想这个问题比较复杂,我们需要花两天的时间讲解,而且今天只能讲一些基础的知识,重点是介绍一个数字中概念,即函数定义的延拓。通过这个概念,希望大家能理解人类认识进步的过程,看看人类是如何从一个局部的认识,上升到完整的认识,特别是在对数学认知的升级过程中,需要发明新的概念,并且对概念的理解进行逐渐升级。

我们小时候认识的数字都是正整数,1,2,3,4…...因为我们接触到的周围的世界就是这样实实在在一个又一个的东西。后来,我们被告知零这个概念。1,2,3这样的正整数,我们即便不被告知,脑子里的概念也能根据生活经验形成,但是零这个概念,如果不被告知,99.99%甚至更多的人,是无法自我获得的。

事实上除了古印度,其他文明在早期数字中都没有零这个数,也就是说,零这个概念是人类从有数字开始花了几千年才搞明白的概念。几周前我们谈过有关常识的问题,零这个概念对我们来讲就是常识,但是对于几千年前,甚至几百年前没有受过教育的人来讲,并不是常识。由此可见,常识是不断更新的。有了零,我们对于数字的认识就从正整数到了自然数(即零和正整数)。
有了数字就要做运算,事实上运算的分出现早于零的出现。大约在17000年前,南部非洲的人就使用了技术运算的工具。最早的运算是加法,对于加法来讲,自然数本身是完备的,也就是说任何两个自然数相加,结果还是自然数。不过,有了加法必然会产生减法的概念。对于减法,自然数就不完备了,因为2 - 3 = ?在自然数中找不到。于是人们就发明了负数这个概念。比如2-3 = -1。如果我们把减法看成是一个简单的函数,那么2-3其实已经是减法函数定义的一个延拓了,因为我们在小学开始学习减法时,是要求前面的数字大于等于后面的,这是基本概念。

但是我们接触到负数后,老师就把减法的定义范围(也称为定义域)给偷偷更换了。也就是说,现在的减法其实不是过去的减法了(当延拓后,定义就变了,而非定义延拓了?)。进行了概念的延拓,或者说减法函数的延拓后,数学就变得抽象了,难懂了,但是功能也就更强大了。很多人觉得数学很难学,主要是每一次概念延拓时,抽象的概念没有搞清楚,以后不明白的地方越来越多,就再也学不进去了。

和加法类似,自然数对于乘法来讲,也是完备的,也就是说,两个自然数相乘,结果跑不出自然数的范畴(噢噢,完备的意思是,在范畴之内)。当然,有乘法就有除法。遗憾的是,自然数对于除法不是完备的,因为2/3不是一个整数。于是人们又搞出分数的概念。这样整数加上分数,就形成了我们所知道的有理数。在毕达哥拉斯之前,人类对数字的认识到此为止。

乘法中有一类特殊的乘法,就是自己乘以自己,我们称之为平方。有理数对于平方来讲,也是完备的,也就是说,平方运算算来算去,爬不出有理数的范围。当然,人们很快也会想到平方的逆运算,就是开方。遗憾的是,对于开方来讲,有理数就不完备了,因为像√2这样的数字不是有理数。这件事首先被毕达哥拉斯的一个叫做希帕索斯的学生发现了,这就造成了第一次的数学危机,因为毕达哥拉斯原来宣称的所有数字都是有理数这件事就有例外了。于是,毕达哥拉斯决定当鸵鸟,装作不知道,然后把自己的这个学生希帕索斯弄死了。当然,他更正确的做法应该是承认无理数的存在,这样他其实会变得更伟大。从有理数到无理数,实际上数字的范围又进行了一次延伸,从有理数扩展到了实数,即有理数和无理数的总和。(实数 = 有理数 + 无理数 = 自然数 + 分数 + 无理数)。开方这种运算,自然也进行了一次闫拓,

讲到平方和开方,还要问大家一个问题。什么数字的平方等于4?我发现95%甚至更多的人会回答是2,这个回答只对了一半,因为-2的平方也是4。初中生考数学丢分,忘记负数是最常见的原因。有了实数的概念,开方这件事情对于正的实数来讲是完备的。但是,对于负数来讲就有问题了,因为没有一个实数的平方等于-1。也就是说-1的开方在实数中是没有定义的。于是,数学家们不得不发明一个虚拟的数字,让它的平方等于-1,这就是虚数i,也就是说 i * i = -1。(平时第一次有点懂了啥事虚数, imaginary number)。

这样开方这种运算就被延拓到负数的范围,所谓复数是实数和虚数的总称。(复数 = 实数 + 虚数 = 有理数 + 无理数 + 虚数 = 自然数 + 分数 + 无理数 + 虚数)。有了复数,加减乘除、平方、开方就都具备了。虚数概念的出现和之前几次数字概念的拓展不同,因为它不是自然界本身存在的,完全是数学家为了让开方这种运算完备,自己发明出来的。

这样的数学,已经完全是一个从定义和公理出发,通过逻辑推演出的知识体系了,它已经无法和现实世界一一对应了。(つまり:)从此,我们不能再用对真实世界的理解,去判定数学上的对错了。

那么复数有什么用呢?为什么要高出这么一个在现实世界中完全不存在的概念呢?仅仅是为了让开方运算变得完备么?当然不是。复数是一个非常强大的数学工具,使用这个建立在现实生活中所不具备的事实的基础之上的数学工具,可以解决很多现实世界里的问题。换一种方式讲就是:复数的基础在现实世界里并不存在,但是建立在不存在基础上的工具,却能解决实际问题。比如我们使用的三相交流电是实实在在存在的,它里面的很多问题,用复数这个工具解决,要比用实数加上三角函数解决起来容易很多。实际上,涉及到电磁波的几乎所有问题,都需要使用复数这个工具来解决。


总结
  • 1. 我们重点讲了“延拓”这个概念。人类最初的认知来源于自身的实践,但是人类渐渐发现很多新的问题在原有的认识基础上就无法解决了,于是人类就进行概念的拓展,当然,在数学上也就有了运算(和函数)的延拓。记得我之前讲的吗,每当我们发现问题的时候,其实都是我们的机会,而不仅仅是我们的厄运。数学就是在这样不断发现问题,解决问题的过程中进步的。在生活中,适当的、合乎逻辑的“延拓”也很重要,至于什么地方可以用到这样的思维方式,你要思考。
  • 2. 学习间接经验很重要。如果凡事都靠自己琢磨出来,即使是零这样一个常识性的概念,也要想个上千年。
  • 3. 数学是一个抽象的工具,它的很多分支建立在“不存在”的基础之上,却能解决现实的问题,这在哲学意义上市一个件很有意思的事情。有效地做事情,掌握好的工具非常重要。同一个问题,有些人因为手头上有好的工具,就解决了,有些人从自己在现实世界的经验出发慢慢摸索,就难以解决。



(好精彩的逻辑推理)

思考:
  • 1. i的平方根是什么?
  • 2. 在生活中,适当的、合乎逻辑的“延拓”也很重要,什么地方可以用到这样的思维方式呢?




  • Q: What is √i ?
    • Know: √-1 = i
    • Suppose: √i = a + bi
    • Answer: 
      • (√i)^2 = (a + bi)^2
      • i = a^2 + 2abi + (bi)^2
      • i = a^2 + b^2*(i)^2 + 2abi
      • i = a^2 + (-1)*b^2 + 2abi
      • i = (a^2 - b^2) + 2abi
      • 0 + i = (a^2 - b^2) + 2abi
      • So, 
        • a^2 - b^2 = 0, 
        • 1 = 2ab, 
          • ——> b = 1/2a ——> a^2 - (1/2a)^2 = 0
          • ——> (4a^4 - 1) / 4a^2 = 0
      • So,
        • a = ± 1 / √2
        • b = ± 1/√2
        • √i =  1/√2 + 1/√2i or √i = -1/√2 - 1/√2 i












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